So, Problem erkannt - endlich.
Für alle, die mal in eine ähnliche Situation geraten: Es war in diesem Fall der Wasserfilter, der sich direkt vor der Wasserpumpe (Druckwasserpumpe) befindet.
Dieser besteht eigentlich aus einem schwarzen Plastikstück, auf das der Filter geschraubt wird. Allerdings war das durchsichtige Plastikteil, in dem sich der Filter befindet, kaputt, wie man hier sehen kann:
Normalerweise ist das durchsichtige Ding ein Teil. Das Gewinde ist jedoch abgebrochen, wie man hier gut erkennen kann:
Zwar hatte der Fachhändler gerade kein Ersatzteil (ca. 9,50 €) da und musste es bestellen, aber das ist nicht schlimm, denn man kann den Wasserschlauch auch ohne den Filter an die Pumpe schrauben, was ich jetzt für die nächsten Tage erst mal gemacht habe, bis der bestellte Filter eintrifft.